Fiocchi di neve e geometria

Dopo avervi abbondantemente deliziato con le bolle di sapone, vi voglio parlare di un'altra cosa che sicuramente vi suonerà familiare: i fiocchi di neve. Ebbene sì, anche loro nascondono i loro segreti.

Una tabella che registra alcuni dei moltissimi tipi di fiocchi di neve presenti in natura

Un cristallo di neve individuato al microscopio elettronico
a scansione all'interno di un fiocco di neve.
In secondo piano si intravedono altri cristalli
tra loro sovrapposti e orientati secondo piani differenti

I fiocchi di neve, come le impronte digitali, sono unici e diversi gli uni dagli altri.
Una domanda interessante è perché i bracci dei cristalli di neve che formano i fiocchi siano perfettamente simmetrici ed allo stesso tempo non ci siano due cristalli di neve identici. La risposta risiede nelle differenti condizioni ambientali che due cristalli diversi posti ad una certa distanza tra loro subiscono durante il processo di formazione, accrescimento e caduta ovvero nel fatto che la distanza "tra" i cristalli di neve è molto maggiore di quella "interna" al medesimo cristallo di neve.

Data la simmetria iniziale esagonale della struttura cristallina del ghiaccio comune (derivante direttamente dalla struttura molecolare dell'acqua), i bracci del cristallo di neve crescono indipendentemente in un ambiente che è ritenuto spazialmente e temporalmente molto variabile in termini di temperatura, umidità e così via. Questo ambiente è ritenuto relativamente omogeneo nello spazio di un singolo fiocco e questo porta i bracci a crescere in modo molto regolare e simmetrico, rispondendo in modo uguale a un ambiente uguale, come alberi non imparentati tra loro rispondono ai cambiamenti ambientali facendo crescere serie simili di anelli nel tronco. La differenza nell'ambiente anche minima in termini di temperatura e soprattutto umidità dell'aria su scale spaziali più grandi di quelle di un singolo cristallo di neve conduce alla mancanza di uguaglianza osservata tra le forme di due o più cristalli differenti.

Naturalmente il concetto che due cristalli di neve non possano assolutamente essere uguali è un'iperbole teorica. Infatti è perfettamente possibile, anche se improbabile, che due cristalli possano essere identici, a patto che le condizioni ambientali siano abbastanza simili: sia che i cristalli crescano abbastanza vicini l'uno all'altro sia anche per puro caso. La Società Meteorologica Americana ha riportato che due cristalli identici sono stati trovati da Nancy Knight del Centro Nazionale per la Ricerca Atmosferica il 1º novembre 1986. I cristalli non erano "fiocchi" dendritici nel senso comune del termine, ma piuttosto semplici piastre esagonali prismatiche.

In ogni caso i fiocchi di neve ci danno la possibilità di esplorare il mondo dei frattali, ovvero di enti geometrici molto particolari che ripetono la loro struttura a diversi ingrandimenti.

Il video mostra due osservazioni di cristalli di neve osservati in laboratorio per studiare le dinamiche molecolari dietro la loro formazione. Per farlo è stato usato un ago sottilissimo ad alto voltaggio che ha sostenuto poi la crescita di cristalli sulla sua punta.

Credit: Caltech/Libbrecht

  Un frattale di Mandelbrot visto a diversi ingrandimenti.

Un elegantissimo fiocco di neve: si noti le simmetrie di cui è pieno.

Per finire vi segnalo uno stupendo frattale, molto simile ad un fiocco di neve, che viene per questo chiamato Fiocco di Neve di Koch (dal nome del matematico che per primo lo descrisse nei primi del '900).
La costruzione parte da un'isola a forma di triangolo equilatero. Quindi, sul terzo centrale di ciascuno dei tre lati di lunghezza unitaria, si colloca un promontorio a forma di triangolo equilatero, dai lati uguali a 1/3. Si ottiene così un esagono regolare stellato, o stella di David, il cui perimetro ha lunghezza uguale a 4. Allo stesso modo si procede per ciascuno dei suoi dodici lati, e così di seguito, come vedete in figura.

Continuando all'infinito si otterrà la figura sottostante. Una curiosità: si potrebbe dimostrare che questa figura ha perimetro infinito, ma superficie finita.

Fonti:      

http://it.wikipedia.org/wiki/Neve

http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_di_Koch