Il principio di Fermat

Dalla figura si evince che se un'onda colpisce la superficie di separazione di due mezzi diversi essa viene riflessa di un angolo uguale a quello d'incidenza, ma viene rifratta ( nel caso in cui  la velocità dell'onda sia maggiore nel primo rispetto al secondo mezzo) di un angolo minore.

Gli angoli sono misurati rispetto alla normale alla superficie, cioè alla retta ad essa perpendicolare.

   

Quando immergiamo un'oggetto, ad esempio una matita, nell'acqua notiamo che essa sembra ''spezzata'' in corrispondenza della superficie di separazione aria-acqua. Questo fenomeno in Fisica è conosciuto sotto il nome di rifrazione. Infatti, quando un fronte d'onda (immaginabile come l'insieme dei punti di un'onda che si trovano nella stessa fase, ovvero in configurazione di cresta, buca o una qualsiasi combinazione delle due) impatta una superficie, esso viene in parte riflesso e in parte rifratto.

Prendiamo un singolo raggio (ad es.un raggio luminoso). Come si vede dalla figura a fianco esso viene riflesso di un angolo uguale a quello d'incidenza ma viene rifratto di un angolo minore rispetto alla normale.

La matita che ''si spezza'' nell'acqua è

un esempio di rifrazione.

Il matematico francese Pierre de Fermat - molto noto per l' ''ultimo teorema'' che porta il suo nome - propose una visione alternativa di questo fenomeno. La formulazione esatta di tale principio è:

 il percorso seguito da un raggio di luce per andare da un punto ad un altro attraverso un qualsiasi insieme di mezzi è tale da rendere il suo cammino ottico uguale, in prima approssimazione, agli altri cammini immediatamente adiacenti a quello effettivo.

 Per semplificare potremmo dire (in maniera non del tutto precisa) che per andare da un punto all'altro la luce sceglie il percorso che le richiede il minor tempo possibile.

Vediamo come tramite il principio di Fermat è possibile spiegare la legge della riflessione, e per farlo consideriamo la costruzione geometrica della figura affianco.

Nella figura sono mostrati due punti A e B e uno specchio piano MM'.

Vogliamo scoprire qual è il percorso lungo il quale la luce impiega il minor tempo possibile per andare da A a B rimbalzando sullo specchio.

Illustrazione del principio di Fermat

Dal momento che tutta la traiettoria è nello stesso mezzo ottico non ci sono variazioni di indice di rifrazione: per questo motivo il tempo minore coincide anche con la strada più breve, dato che la velocità della luce rimane costante nello stesso mezzo. Si potrebbe pensare di scegliere il cammino ADB. In tal caso il segmento AD sarebbe effettivamente molto breve, ma il segmento EB risulterebbe molto lungo. Se spostiamo a destra il punto di impatto con lo specchio il secondo segmento diminuisce, mentre il primo aumenta. Per trovare il percorso più breve possiamo ricorrere a una costruzione geometrica. Costruiamo quindi dall'altra parte dello specchio un punto artificiale B' simmetrico di B rispetto allo specchio, distante quindi dallo specchio quanto B. Tracciando il segmento EB' ci si accorge che i due triangoli rettangoli EBF e EB'F sono uguali, da cui segue che EB è uguale a EB'. Il problema visto all’inizio si riduce quindi a trovare il percorso più breve per andare da A fino a B'. Ma in questo caso la risposta è ovvia, poiché il percorso più breve per unire i due punti è una linea retta. Indichiamo con C il punto in cui tale linea retta incontra lo specchio. L’eguaglianza dei triangoli ci mostra che l’angolo BCF è uguale a B'CF e quindi all’angolo ACM. Ma questo equivale proprio a dire che l’angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione. La legge della riflessione è quindi una diretta conseguenza del principio del tempo minimo di Fermat.

Il Principio di Fermat e la rifrazione

Il principio di Fermat permette di avere una immediata intuizione del suo collegamento anche con la legge

della rifrazione, tenendo presente che la luce è più veloce in un mezzo di indice di rifrazione minore. Dal

punto di vista intuitivo è molto utile ricorrere all’esempio fatto da Feynman: immaginiamo che trovandoci in spiaggia nel punto A si debba salvare una persona caduta in acqua nel punto B.

Paragone intuitivo per la legge della rifrazione

Quale è il percorso più rapido per compiere tale salvataggio? 

Non la semplice linea retta da A a B, dato che siamo in grado di correre più rapidamente sulla spiaggia di quanto possiamo nuotare in acqua: dal punto di vista teorico dovremmo calcolare il percorso migliore, che comunque sarà qualcosa di simile a quello indicato in figura come ACB. Ovviamente il percorso dipende dalla nostra differenza di velocità in acqua e sulla spiaggia: allo stesso modo la luce fa un percorso che ricorda quello ACB, e a tale percorso della luce dipenderà dalla velocità della luce stessa nei vari mezzi, cioè dall'indice di rifrazione. Una  dimostrazione più rigorosa può essere effettuata utilizzando il cammino ottico.

Si noti che, osservando il percorso del raggio rifratto e tenendo presente il principio di Fermat si può prevedere, senza necessità di misure complesse, che la velocità della luce in un mezzo è minore rispetto alla velocità della luce nel vuoto.

Applicazioni del principio di Fermat

Una diretta conseguenza del principio di Fermat è il teorema di reversibilità del cammino ottico, immediatamente dimostrabile osservando che il percorso più breve all'andata lo sarà anche al ritorno.

         Foto di un miraggio

Un altro fenomeno interessante è quello del miraggio, quando nel deserto sembra di vedere una pozza d’acqua, ma anche, più semplicemente, quando si viaggia in macchina in una giornata afosa e sembra di vedere l’asfalto bagnato. Quella che in realtà vediamo è la luce del cielo riflessa sulla strada. Infatti la luce del cielo per giungere al nostro occhio può ''scegliere'' una traiettoria simile a quella illustrata in fig.1.

Questo accade poiché l’aria subito sopra la strada è molto calda, mentre in alto nell'atmosfera l’aria è più fredda e più densa, e di conseguenza riduce maggiormente la velocità della luce, che è più grande nella zona

calda. Allora la luce può ''decidere'', per arrivare al nostro occhio di non fare una linea retta, ma di percorrere più strada nella zona calda, dove va più veloce, e meno nella zona fredda in cui è più lenta, rispettando in tal modo il principio del tempo minimo. In questo modo la luce del cielo sembra provenire dalla strada, dando luogo al fenomeno del miraggio.

Fig.1: rappresentazione schematica del miraggio

Per ragioni simili quando osserviamo i corpi celesti li osserviamo generalmente leggermente più alti di quanto siano in realtà. E sempre l’effetto ”lente” dell’atmosfera fa si che il Sole sembri sorgere ad orari diversi da quelli previsti dagli almanacchi astronomici. Talvolta si può assistere al fenomeno opposto, quando l’aria al terreno è più fredda di quella negli strati superiori. È il fenomeno detto Fata Morgana, tipico ad esempio dello stretto di Messina, grazie a cui le navi sembrano sospese nel cielo . Esso prende il nome dalla leggendaria sorella di re Artù, che era in grado di costruire i suoi castelli in aria.

Forma di una lente convergente

Si pensi alla forma che assume una lente convergente: il principio di Fermat ci permette di capirne la ragione. Infatti i raggi parassiali (quelli vicini all’asse ottico) fanno un percorso maggiormente rettilineo e quindi più breve, ma percorrono un tratto più lungo nel vetro rispetto ai raggi marginali. Il tempo impiegato dai due raggi è quindi equivalente, come prevede il principio di Fermat.

Allo stesso modo la conoscenza delle proprietà di alcune curve matematiche ci permette di ricavare il comportamento di alcuni sistemi ottici. Immaginiamo ad esempio di avere una sorgente puntiforme di luce in un punto P e di voler costruire uno specchio che concentri la radiazione emessa da tale sorgente nel punto P'.

Specchio ellittico

Dato che vogliamo che tutta la radiazione si concentri in un punto e dato che i punti sono immersi nello stesso materiale (parlare di tempo e di distanza ha in questo caso lo stesso significato) si vuole trovare una superficie tale che la somma delle distanze P-superficie e superficie -P' sia una costante. Questo equivale a dire che la superficie deve essere un’ellissi di cui i due punti rappresentano i due fuochi. Proprietà simili evidenziano che uno specchio parabolico è in grado di concentrare tutta la luce che riceve da un oggetto all'infinito in un unico punto, cosa che è assai utile nei telescopi astronomici .

Qui trovate alcune applet sul principio di Fermat:

http://areeweb.polito.it/ricerca/qdbf/fil/indicegenerale/ottica/ottica_geometrica/Fermat.htm

http://www.geogebra.org/en/upload/files/italian/alessandra_tomasi/Problemi%20Ottimizzazione/Rifrazione.html

Fonti:http://www.inoa.it/home/farini/Didattica_files/fisica_lavoratori_lezione3_fermat.pdf

        http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_principle